>>>>关于导函数的一个疑问<<<<

考虑这个一个定义在R+上的函数(R-上没必要考虑)：f(x)=g(t)的积分，t从0积到x
其中g(t)在每个区间[n,n+1）上如下定义(n=1,2,...)：
在[n,n+1/n^2]上取值为1，其余点取值为1/n^2
那么，显然f'(x)=g(x)>0
而且g(x)从0积到正无穷是收敛的(lz可以动用级数知识证明，不难)，所以条件满足。但是g(x)不趋于0.所以命题不成立

依题意f可导就应该是连续函数
由於楼上的g是分段函数，如果积分之后f也应该是分段的，会存在折点
在折点就不存在导数，矛盾了
至於原命题的证明，我觉得可以考虑用反证法
不妨设f单调增，f恒>0，x→∞时，f→A，
则f应为递减函数
反设若x→∞时，f'(x)=a≠0
则一定存在n，使an>A
那麼取任意x0，f(x0+n)>f(x0)+an>A与条件矛盾
故原命题成立

f(x):
当x<=1时，f(x)=0；
当n<=x<=n+1/2^(n-1)时，f(x)=(1/2)[x-sin(2^n*πx)/(2^n*π)]+1-n/2-1/2^(n-1)，
当n+1/2^(n-1)<x<n+1时，f(x)=1-1/2^n，
n=1,2,3,....

上述构造的函数f(x)在R上处处可导，而且单调递增，其导函数是

f'(x):
当n<=x<=n+1/2^(n-1)时,f'(x)=(1/2)[1-cos(2^n*πx)]=[sin(2^n*πx/2)]^2,n=1,2,3,.....
当x=其它时，f'(x)=0

由于f(n)=1-1/2^(n-1),并且由于单调递增，所以lim[x->+∞,f(x)]=lim[n->∞,f(n)]=1
但是导函数f'(x)在x->+∞时没有极限，因为对于所有的n,f'